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序論：在您撰寫數學思維的含義時，參考他人的優秀作品可以開闊視野，小編為您整理的7篇范文，希望這些建議能夠激發您的創作熱情，引導您走向新的創作高度。
一、營造有利的教學環境
情境具有強烈的吸引力，對培養學生的數學思維及創造能力有著至關重要的作用。要形成學生主動學習、積極動腦、踴躍參與的課堂教學氛圍，教師就必須深入研究教材，突出學生的主體地位，尊重學生的不同觀點，鼓勵學生想象、質疑甚至標新立異，給予每位學生發表自己見解的機會，最大限度地消除學生的心理障礙。
如講到“反比例函數的圖像上有點A（3，2），求k的值”時，學生通過代入計算，可以求出k的值。如果教師停留在此不再深入講解求解的技巧，對下面的反比例函數圖像中關于面積的題目的講解起不到幫助作用。所以可以提問：如果A坐標改為（，），賽一賽誰能最快求出k的值？引導學生探索，最終得出：用去分母的辦法可得xy=k，即只要是反比例函數圖像上的點（x，y），都滿足k=xy。
要求學生充分利用這個等式，接下來就可以出題，如：
若反比例函數的圖像過點（2，5），則點（ ）也在這個反比例函數的圖像上。
A.（10，-1） B.（5，2） C.（1，13） D.（2，-5）
有了上面的引入，這題無需求m的值，即可選出答案B。
二、充分揭示數學思維過程
在反比例函數圖像上的點，滿足xy=k，在平面直角坐標系的第一象限中可隨便描幾個在同一反比例函數圖像上的點，如圖1所示。
圖1 圖2
在描點的過程中，學生可以看出點A（a，b），B（s，t），ab=k，st=k，就是兩個矩形的面積。如果把矩形的一條過原點的對角線連接（如圖2所示），則可發現SAOD =SAOE =SBOC =SBOF=。進而讓學生考慮：如果畫在其他象限內的點，是否也有如上的規律？如果把這條對角線與雙曲線的另一支交點也畫出，那么這條直線和雙曲線構成的是什么圖形？這個結論對以后的解題是否有幫助？
教學中引導學生運用邏輯思維、形象思維以及直覺思維等多種思維方式，使題目中的相關信息有序化，通過學生的自主思考產生積極的效果或成果，這種創造性思維能力是正常人通過后天的思考、培養就可以具備的。
三、精選練習，緊扣重點
要培養學生的數學思維能力，教學中就必須采用開放式的教學方法，充分揭示解題的思維過程。因為學生學習的數學知識雖然是前人創造性思維的成果，但是學生作為學習的主體處于再發現的地位，學習活動本質上仍然具有發現和創造的性質，因此解題的思維過程比題目答案本身更應值得重視。
如圖3所示，直線l和雙曲線（k>0）交于A、B兩點，P是線段AB上的點（不與A、B重合），過點A，B，P分別向x軸作垂線，垂足分別為C，D，E，連接OA，OB，OP，設SAOC=S1，SBOD=S2，SPOE=S3，試比較S1，S2，S3的大小： 。
解答：經過上面知識的學習，如圖4所示，因為點A、B在雙曲線上，所以S1=S2=。而點P不在反比例函數的圖像上，所以S3≠，設PE與雙曲線交點為F，連接OF，SOEF=。所以S3>，答案是S1=S2
圖3 圖4 圖5
如圖5所示，正比例函數y=x與反比例函數的圖像交于A、C兩點，ABx軸于B，CDx軸于D，則ABCD的面積= 。
分析：由上面的討論，直線、雙曲線都是中心對稱圖形，如果一條經過原點的直線和雙曲線相交則還是構成中心對稱圖形，因此A、C兩點關于原點成中心對稱，即AB與CD平行且相等，則四邊形ABCD為平行四邊形，那么對角線AC、BD則把ABCD面積四等分。
解答：SABCD是4個AOB的面積，SAOB==，答案是4×=2。
著名德國數學家希爾伯特在哥廷根大學任教時，常常在課堂上即興提出一些新的數學問題，并立即著手解決。雖然他并非每次都能得到圓滿的解答，甚至有時把自己“掛”在黑板上，但他發現的思維過程卻使學生受益匪淺。我國數學家華羅庚教授在自己的教學生涯中，也一向重視概念產生、命題形成及思路獲得的思維過程的教學，并著意回答學生提出的“你是怎樣想出來的”一類問題。這些事例充分說明了展現數學思維過程對于培養學生數學思維的重要作用。
四、激發學生的好奇心、求知欲
李政道說：“好奇心很重要，有了好奇心，才敢提出問題。”教師最重要的一項職責就在于，要把學生的好奇心引導到探求科學知識上去，使這種好奇心升華為求知欲，從而激發學生自主學習的積極性。
經過上面幾道求面積的題目訓練后，對于下面幾題，學生們應該躍躍欲試了。
圖6
如圖6所示，在反比例函數（x>0）的圖像上，有點P1，P2，P3，P4，它們的橫坐標依次為1，2，3，4。分別過這些點作x軸與y軸的垂線，圖中所構成的陰影部分的面積從左到右依次為S1，S2，S3，則S1+S2+S3= 。
解答：可利用面積割補法，把S1，S2，S3放到由P1與x、y軸構成的矩形中，而由P4與x、y軸構成的矩形被四等分，得出S1+S2+S3=SAP1BO=2-0.5=1.5。
如圖7所示，兩個反比例函數和（其中k1>k2>0）在第一象限內的圖像依次是C1和C2，設點P在C1上，PCx軸于點C，交C2于點A，PDy軸于點D，交C2于點B，則四邊形PAOB的面積為_________。
圖7
解答：構成的陰影部分面積，正好是矩形面積減去兩個直角三角形面積，即k1-k2。
教學過程中，只有通過選擇和安排合理的、有引導性的問題，才能不斷激發學生的好奇心與求知欲。一個恰當而富有吸引力的問題往往能撥動全班學生思維之弦，奏出一曲耐人尋味，甚至波瀾起伏的大合唱。因此善問是數學教師的基本功，也是所有數學教育家十分重視并長期研究的一項課題。
五、結束語
數學教學中只有培養學生的“愛學”態度、“樂學”情緒、“會學”技巧、“自學”能力，突出“優化思維品質，培養思維能力”，開闊視野，理論聯系實際，培養解決問題能力，才能使學生更適應社會發展。
參考文獻
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[2] 李玉琪.中學數學教學與實踐研究[M].北京：高等教育出版社，2001.
[3] 傅海倫數學教學論[M].北京：科學出版社，2004.
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[5] 謝傳建.淺談數學教學中創造思維能力的培養[J].福建教育學院學報，2003（3）：62.
[6] 陶國富.創造心理學[M].上海：立信會計出版社，2002.
關鍵詞：初中數學；函數教學；數學思維能力培養
函數，是初中階段中數學教學的重點，也是學生學習的難點。但是，不可否認，作為綜合性極強、探究性極高的知識，函數教學對學生數學思維的激發和培養有著極其重要的作用和意義。故此，對初中數學函數教學所能培養學生數學思維的能力進行重點分析，并深入探究函數教學培養學生具體能力的措施和方法，不僅有利于初中學生學習水平的提升和強化，還有利于我國初中數學教學事業的整體發展和進步。
一、選擇判斷能力及其培養方式
（一）概念
作為數學創造能力的主要構成部分，選擇能力和判斷能力不可或缺。這一能力的表現主要可以從兩個方面進行：一，判斷和確定數學推理的基本過程以及最終結論正誤。二，估計并選擇數學相關的命題、解決思路、事實、以及最佳方案等。從某種程度分析，判斷能力其實就是思維者對自身思維活動的自我反饋能力，而選擇能力則是思維者綜合考慮所有因素后最終做出決定的能力。
（二）培養方式
學生在學習函數相關知識時，必然離不開相應的的數學選擇能力和判斷能力。故此，在具體的函數教學過程中，教師可以利用函數正反面變式對學生進行選擇判斷能力的培養和提升。也就是說，讓學生針對函數正反面變式進行題組和問答的選擇與判斷，在一系列的解答過程和判定過程中，不斷培養學生相應的選擇能力和判斷能力。
二、抽象概括能力及其培養方式
（一）概念
從本質上講，數學范圍內任何的概念、規律、算式或是符號，都可以稱為是抽象概括的結果。所以，想要將學生對事物的感性認知成功轉變成理性認知，就需要培養學生的抽象概括能力。作為智力與能力的核心成分，思維至關重要，但是，概括作為思維最基本的特征，在其自身發展和后續培養過程中有著極其重要的作用和意義。
（二）培養方式
在初中數學的函數教學中，大部分函數知識的教學都可以有效培養并提升學生的抽象概括能力。以“一次函數”的相關知識為例，不僅讓學生學習了正比例函數的概念、性質、特征以及常用表達公式y=kx等，還經過知識擴展和推廣，讓學生理解了一次擴展函數y=kx+b的特征、概念以及性質等。客觀而言，這一系列知識的學習和理解都可以歸納為學生抽象概括能力的培養和提升。另外，教師利用函數例題對學生進行相關能力培養時，也可以將函數知識與實際問題相結合，從而在不斷激發學生學習興趣的基礎上，促使其抽象概括能力得以提升。
例如：一超市正在進行優惠促銷活動，針對茶壺和茶杯的優惠方式有兩種：一，買一送一。二，九折奉送。且兩種方式的優惠前提均需要購買三個以上的茶壺。問：這兩種優惠方式有差別嗎？哪一種更優惠？
針對這一類題，教師就可以積極引導學生進行思維擴展和延伸，可以讓學生自行設定每個茶壺和茶杯的單價以及函數未知數，然后利用兩種優惠方式進行最終價格比對。在此過程中，學生通過單價確定、未知數評估、方式比對等，會形成一定程度的抽象概括能力。經過各種題型的訓練，學生這一能力也會不斷得到加強和提升，最終達到成熟的地步。
三、數學探索能力及其培養方式
（一）概念
數學探索能力，是一種有別于選擇判斷能力以及抽象概括能力的高級數學思維，是在綜合了一定能力的基礎上形成并發展起來的。嚴格意義上講，數學探索能力其實是一個創造性思維的綜合能力。在數學中，探索主要表現在數學問題的提出、數學結論的探求、數學解題途徑和策略的探索以及數學解題規律的尋找等方面，而探索能力則主要表現在設想的提出以及設想轉變的進行等方面。
（二）培養方式
在函數的教學過程中，想要培養學生對數學知識的探索能力，就必須切實做好課題教學的相關工作。讓學生針對討論價值高、挑戰性強、探索性強的研究課題進行課題學習，不僅可以推動和促進學生應用函數相關知識進行實際問題解決和處理，使其對應的意識和能力得到深層次發展和培養，還能最大限度地幫助學生進行函數相關知識的認知、理解和記憶，使其進一步認識和理解函數變量間的關系以及變量變化的客觀規律。
例如：有一長度為20米的欄桿，若一面靠墻，怎樣圍才能圍出一個面積最大的矩形花圃？
對于這類題型的課題研究，教師可以首先要求學生進行“特殊值嘗試”，將其一邊長依次設為1，2，3，4，5，6，7，8，???，則另一邊長可求出，依次為18，16，14，12，10，8，6，4，2，???，如此，其對應面積依次為18，32，42，48，50，48，42，32，18，???。通過觀察可以發現其面積和設定的邊長有著必然的聯系，其變化規律也相當直觀。由此，便可引出一元二次函數方程式：Y=x（20-2x），求出面積最大值為50。
通過這樣的思維培養，相信無論是學生的選擇判斷能力，還是數學探索能力，都能得到一定程度的提升。
關鍵詞： 高中數學 函數 解題
高中數學解題受到函數概念認知的干預，在高中數學習題解答中，函數模型的應用有著很重要的作用，要想高效解答高中函數習題，利用函數模型解答是最正確的行為。高中數學中最困擾學生的一個問題就是函數，大多數高中生對函數概念的認知程度不夠，導致函數習題解答中出現了很多困難，學生對高中數學產生畏懼心理。高中生必須具備函數概念認知，才能從根本上解決函數習題中遇到的困難，減輕對函數乃至于數學的畏懼心理。
一、認識函數
1.認識重要性，提高學習動力。
學生大量接觸函數是在高中時期，函數是大多數高中生心目中比較難掌握的知識點，但是高中時期函數是數學課中很重要的知識點，要想提高高中生的數學成績，就必須解決函數這個對高中生來說很難的問題。對一般實際生活中的問題利用函數模型解決就是函數，高中數學學習中，函數占據重要地位，并且是最難懂最難學的知識點，函數在大多數高中生心目中并沒有清晰的認知，導致函數學習中存在很多不容易解決的難題。并不是說沒有辦法提高高中生對函數概念的認知，深入了解函數模型和概念，能夠有效解決函數中的難題[1]。函數同時是高考數學科目考查的難點和重點，所以對函數概念進行深刻把握具有重要意義。
2.了解概念，破除認知障礙。
函數的概念：設在某變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某一范圍內的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就稱y是x的函數，x叫做自變量。
在一般書籍和資料中，函數的概念就是用x和y表示一個函數模型，函數習題中經常解決的是實際存在的問題，高中學生的函數學習任務就是利用函數模型對這些實際問題進行解決。函數對于高中學生來說并不陌生，學生對實際中存在的問題也不陌生，但是在解決實際問題中使用函數就不一樣了，大多數高中生利用函數模型解決實際問題的時候常常不能靈活運用函數模型，學生對函數概念的認知障礙就是這樣形成的[2]。所以必須提高學生利用函數解決實際問題的能力，但是提高運用能力的時候首先要對函數的概念有深刻的認識。
二、函數的了解方法
1.參考資料，實地思考。
高中學生深入了解函數概念的最主要方式就是參考相關資料，翻閱對函數模型有一定解釋的書籍，通過書籍中對函數概念的理解對函數概念有深入認識。高中函數最重要的問題就是利用函數解決實際生活中的問題，所以通過相關資料和書籍對函數概念有深刻認識之后，要結合實際生活情況，把習題放進實際生活環境中解答，這樣關于函數的一切問題就會變得更加簡單化和生活化，再把和習題相關的函數模型運用到習題解答中，就能快速高效地解答函數習題。
2.結合實際，舉例分析。
枯燥的理論對于學生的學習來說往往不重要，為了讓學生感受到課堂樂趣及讓學生更信服，需要相關函數例子佐證。
案例：
題目：納稅是我國每一個公民都應該盡到的義務，進行生產經營活動的商鋪和企業必須向稅務部繳納一定的稅務。某市對于服裝業的稅收標準如下：每月銷售額在2000元以內的征稅400元，超過2000元的，前2000元收300元的稅款，超出2000元部分的稅率是3%.
問：（1）寫出該市服裝業征收的稅金y（元）和營業額x（元）的函數關系式。
（2）該市某一個服裝店7月份的營業額是50000元，這家服裝店七月份該繳納的稅金為多少？
分析：這道函數習題背景就是我國一般的納稅問題，結合實際生活中納稅的情況進行分析，根據題目中表達的情況，對稅金（y）和營業額（x）之間的函數關系式進行設定，這樣不僅解決了函數習題，而且是對實際生活中的問題的解答。
高中生的數學學習受到函數概念認知的影響和干預很大，用函數習題的解答能夠幫助學生對函數概念有深刻的認知，靈活地對實際生活中的問題利用函數概念解決。
三、結語
在高中數學乃至高考數學科目中，函數占據重要地位，所以高中學生必須學好函數。利用函數模型解答實際生活中的問題，這就是數學解題受到函數概念認知干預的后果。
參考文獻：
[1]朱健忠.例析三角函數的解題技巧[J].理科考試研究（高中版），2014，21（7）：14.
關鍵詞：函數 定義域 思維品質 解題
思維品質是指個體思維活動特殊性的外部表現.它包括思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質.函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終.函數的定義域是構成函數的三大要素之一，函數的定義域(或變量的允許值范圍所組成的集合)似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途.在解函數題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數學思維品質是十分有益的.本文就常見的函數解題與函數定義域的密切解析以具體案例的形式展開論述。
1.函數解析式與定義域
函數解析式包括定義域和對應法則，所以在求函數的解析式時必須要考慮所求函數解析式的定義域，否則所求函數解析式可能是錯誤的.
案例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數解析式？
解：設矩形的長為x米，則寬為(50－x)米，由題意得：S=x(50-x)
故所求函數的解析式為：S=x(50-x)．
如果解題到此為止，則本題的函數解析式還欠完整，缺少自變量x的范圍.也就說學生的解題思路不夠嚴密.因為當自變量x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍：0
即：函數的解析式為：S=x(50-x) （0
這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響.若考慮不到這一點，就體現出學生思維缺乏嚴密性.若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好思維的嚴密性.
2.函數最值與定義域
函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大(小)值的問題.如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤.
案例2：求函數y=x2-2x-3在[-2,5]上的最值．
解：y= x2-2x-3=( x2-2x+1)-4=(x-1)2-4
當x=1時，ymin=-4
初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值.產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生變化.這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性.
其實以上結論只是對二次函數y= ax2+bx+c(a>0)在R上適用，而在指定的定義域區間[p,q]上，它的最值應分如下情況：
⑴ 當 時，y=f(x)在[p,q]上單調遞增函數f(x)min=f(p),f(x)max=f(q)；
⑵ 當 時，y=f(x)在[p,q]上單調遞減函數f(x)max=f(p),f(x)min=f(q)；
⑶ 當 時，y=f(x)在[p,q]上最值情況是：f(x)min= ，
f(x)max=max{f(p),f(q)}．即最大值是f(p),f(q)中最大的一個值.
故本題還要繼續做下去：-2≤1≤5 f(-2)=(-2)2-2×(-2)-3=-3
f(5)=52-2×5-3=12
f(x)max=max{f(-2),f(5)}=f(5)=12
函數y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12．
這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現出學生思維的靈活性.
3.函數值域與定義域
函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定.因此在求函數值域時，應注意函數定義域.
案例3：求函數 的值域．
錯解：令t= ,則2x=t2+3
y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=
故所求的函數值域是 ．
剖析：經換元后，應有t≥0，而函數y=2t2+t+1在[0,+∞)上是增函數，
所以當t=0時，ymin=1．
故所求的函數值域是[1, +∞）．
以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生.也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現出良好的思維批判性。
4.函數奇偶性與定義域
判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間是關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談.否則要用奇偶性定義加以判斷.
案例4：判斷函數y=x3,x∈[-1,3]的奇偶性．
解：2 ∈[-1,3]而-2 [-1,3]
定義域區間[-1,3]關于坐標原點不對稱
函數y=x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函數．
若學生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現出學生解題思維的敏捷性.
如果學生不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性得出如下錯誤結論： f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)函數y=x3, x∈[-1,3]是奇函數．
錯誤剖析：因為以上做法是沒有判斷該函數的定義域區間是否關于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結論錯誤的原因.
5.結束語
綜上所述，在求解函數解析式、最值(值域)、單調性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變(指對定義域為R來說)，對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析能力，有利于培養學生的思維品質，從而不斷提高學生思維能力，進而有利于培養學生思維的創造性.
參考文獻
關鍵詞：高中數學 函數定義域 思維品質
學生進入高中，學習集合這一基本工具后，就開始了高中函數的學習。用集合的觀點定義了函數，進而開始了對函數的研究。然而，不管是求函數解析式、值域，還是研究其性質，都離不開對定義域的研究。
一、函數關系式與定義域
函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤。如：
例1：用籬笆圍一個矩形菜園，現有籬笆總長度為100m，求矩形菜園的面積S與矩形長x的函數關系式？
解：設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：S=（50-x）
故函數關系式為：S=x（50-x） .
如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍： 0
即：函數關系式為：S=x（50-x） （0
這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。這體現了思維的嚴密性，培養學生此項品質是十分必要的。
另外如：y=x和 雖然對應關系相同，但定義域不同，也是不同的函數。
二、函數值域與定義域
函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：
例2：求函數 的值域.
錯解：令
故所求的函數值域是 .
剖析：經換元后，應有t≥0，而函數 在[0，+∞）上是增函數，
所以當t=0時，ymin=1.
故所求的函數值域是[1， +∞）.
以上例子說明，變量的允許值范圍的重要性，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生。
求函數值域，往往也會想到函數最值的求解。這里以二次函數
為例舉例說明。
例3：求函數 在[1，4]上的最值.
解：
當 時，
初看本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到此題定義域不是R，而是[1，4]。這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性。學生只知道利用對稱軸求二次函數最值。然而，那往往是定義域是R的時候，當條件改變時，需要考慮完善。本題還要繼續做下去：
f（4）=42-4x4-5=-5
函數 在[1，4]上的最小值是-9，最大值是―5.
這個例子說明，在函數定義域受到限制時，應注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，這說明思維的靈活性很重要。
三、函數單調性與定義域
函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如：
例4：求出函數f（x）=1n（4+3x-x2）的單調區間.
解：先求定義域：
函數定義域為（-1，4）.
令 ，知在 上時，u為減函數，
在 上時， u為增函數。
又
即函數 的單調遞增區間 ，單調遞減區間是 。
如果在做題時，沒有在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，就說明學生對函數單調性的概念一知半解，在做練習或作業時，只是對題型，套公式，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。此題正解應該是函數 的單調遞增區間 ，單調遞減區間是 。
四、函數奇偶性與定義域
判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：
例5：判斷函數 的奇偶性.
解： 定義域區間 不關于坐標原點對稱
函數 是非奇非偶函數.
若學生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現出學生解題思維的敏捷性
如果學生不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性可能得出如下錯誤結論：
函數 是奇函數.
綜上所述，在求解函數關系式、最值（值域）、單調性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結果有無影響，就能提高學生辨析理解能力，有利于培養學生的數學思維品質，激發學生的創造力。
參考文獻：
一、函數關系式與定義域
函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數
關系式可能是錯誤。如：
例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式？
解：設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：
S=x（50-x）
故函數關系式為：S=x（50-x）。
如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量的范圍：0＜x＜50。
即：函數關系式為：S=x（50-x）（0＜x＜50）。
這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。若考慮不到這一點，就體現出學生思維缺乏嚴密性。若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好思維的嚴密性。
二、函數最值與定義域
函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大（小）值的問題。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。如：
例2：求函數y=x -2x-3在［-2，5］上的最值。
解：y=x -2x-3=（x -2x+1）-4=（x-1） -4
當x=1時，y =-4
初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生變化。這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性。
其實以上結論只是對二次函數y=ax +bx+c（a＞0）在R上適用，而在指定的定義域區間［p，q］上，它的最值應分如下情況：
（1）當- ＜p時，y=f（x）在［p，q］上單調遞增函數f（x） =f（p），f（x） =f（q）；
（2）當- ＞q時，y=f（x）在［p，q］上單調遞減函數f（x） =f（p），f（x） =f（q）；
（3）當p≤- ≤q時，y=f（x）在［p，q］上最值情況是：
f（x） =f（- ）= ，
f（x） =max{f（p），f（q）}。即最大值是f（p），f（q）中最大的一個值。
故本題還要繼續做下去：
-2≤1≤5
f（-2）=（-2） -2×（-2）-3=-3
f（5）=5 -2×5-3=12
f（x） =max{f（-2），f（5）}=f（5）=12
函數y=x -2x-3，在［-2，5］上的最小值是-4，最大值是12。
這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現出學生思維的靈活性。
三、函數值域與定義域
函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：
例3：求函數y=4x-5+ 的值域。
錯解：令t= ，則2x=t +3，
y=2（t`+3）-5+t=2t +t+1=2（t+ ） + ≥ 。
故所求的函數值域是［ ，+∞）。
剖析：經換元后，應有t≥0，而函數y=2t +t+1在［0，+∞）上是增函數，
所以當t=0時，y =1。
故所求的函數值域是［1，+∞）。
以上例子說明，變量的允許值范圍是何等重要，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生。也就是說，學生若能在解好題目后檢驗已經得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現出良好的思維批判性。
四、函數單調性與定義域
函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。
五、函數奇偶性與定義域
判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點呈中心對稱，如果定義域區間是關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。
綜上所述，在求解函數函數關系式、最值（值域）、單調性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析的能力，有利于培養學生的思維品質，從而不斷提高學生的思維能力，進而有利于培養學生思維的創造性。
參考文獻：
［1］王岳庭主編.數學教師的素質與中學生數學素質的培養論文集.北京：海洋出版社，1998.
［2］田萬海主編.數學教育學.浙江：浙江教育出版社，1993.
【關鍵詞】高中數學；函數的定義域；思維品質；培養
函數的定義域是構成函數的兩大要素之一，函數的定義域（或變量的允許值范圍）似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途.為此，筆者從函數的定義域入手，探討了如何培養學生的數學思維品質.
一、函數之解析式與定義域
函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤的.例如，某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100 m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式.
解 設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：
S=x（50-x）.
故函數關系式為：S=x（50-x）.
如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍.也就是說學生的解題思路不夠嚴密.因為當自變量x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍：0 即函數關系式為：S=x（50-x），（0 這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響.若考慮不到這一點，就體現出學生思維缺乏嚴密性.若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好的思維嚴密性.
二、函數之最值問題與定義域
函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大（小）值的問題.如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤.例如，求函數y=x2-2x-3在＼[-2，5＼]上的最值.
解 y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-4=（x-1）2-4，
當x=1時，ymin=-4.
初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值.產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生變化.這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性.
其實以上結論只是對二次函數y=ax2+bx+c（a>0）在R上適用，而在指定的定義域區間[p，q]上，它的最值應分如下情況：
（1）當-b2a （2）當-b2a>q時，y=f（x）在[p，q]上是單調遞減函數，f（x）max=f（p），f（x）min=f（q）；
（3）當p≤-b2a≤q時，y=f（x）在[p，q]上的最值情況是：
f（x）min=f（-b2a）=4ac-b24a，f（x）max=max{f（p），f（q）}.即最大值是f（p），f（q）中最大的一個值.
故本題還要繼續做下去：
-2≤1≤5，f（-2）=（-2）2-2×（-2）-3=-3，f（5）=52-2×5-3=12.
f（x）max=max{f（-2），f（5）}=f（5）=12.
函數y=x2-2x-3在＼[-2，5＼]上的最小值是-4，最大值是12.
這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現出學生思維的靈活性.
三、函數之值域問題與定義域
函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定.因此在求函數值域時，應注意函數定義域.例如，求函數y=4x-5+2x-3的值域.
錯解 令t=2x-3，則2x=t2+3，
y=2（t2+3）-5+t=2t2+t+1=2t+142+78≥78.
故所求的函數值域是78，+∞.
剖析 經換元后，應有t≥0，而函數y=2t2+t+1在＼[0，+∞）上是增函數，所以當t=0時，ymin=1.
故所求的函數值域是＼[1，+∞）.
以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生.也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現出良好的思維批判性.
綜上所述，在求解函數函數關系式、最值（值域）等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析的能力，有利于培養學生的思維品質，從而不斷提高學生的思維能力，進而有利于培養學生思維的創造性.
【參考文獻】
[1]王岳庭主編.數學教師的素質與中學生數學素質的培養論文集.北京海洋出版社，1998.
