時(shí)間：2023-07-07 16:10:45
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1、角的靜態(tài)定義：具有公共點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角。這個(gè)公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的兩條邊。
2、角的動態(tài)定義：一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形叫做角。所旋轉(zhuǎn)射線的端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，開始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊。
（來源：文章屋網(wǎng) ）
在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)重視和加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念的探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的過程,獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念,體驗(yàn)成功的喜悅,從而真正達(dá)到理解并融會貫通的目的,以切實(shí)提高教與學(xué)的效率。
一、生動恰當(dāng)?shù)囊敫拍?/p>
每當(dāng)學(xué)生用一個(gè)新的概念時(shí),教師都應(yīng)讓其感到有必要學(xué)習(xí)這個(gè)概念,從而使他全身心地投入到下面的學(xué)習(xí)中去。要做到這一點(diǎn)有時(shí)并非輕而易舉,而是要費(fèi)一番周折的。因此,合理地“引入”就顯得尤為重要。
1.以史為引。
在講授新概念時(shí),教師結(jié)合課題內(nèi)容,適當(dāng)引入數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)典故或數(shù)學(xué)家的故事,往往能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、熱情。如講“無理數(shù)”時(shí),教師可由無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)者希伯索斯捍衛(wèi)真理的英勇故事引入等。
2.以舊帶新。
在數(shù)學(xué)中有很多概念和以往學(xué)習(xí)的舊概念有密切的聯(lián)系。因此,在學(xué)習(xí)這些概念時(shí),教師可在復(fù)習(xí)舊概念的基礎(chǔ)上類比引入新概念。如在講“一元二次方程”概念時(shí),教師可先復(fù)習(xí)一元一次方程的概念,讓學(xué)生理解什么是“元”和“次”,接著寫出一個(gè)一元二次方程如x2+2x-1=0,讓學(xué)生將其與一元一次方程進(jìn)行比較,找出異同,從而得出一元二次方程的概念。這樣既自然,又利于學(xué)生理解、記憶。再如不等式可類比方程引入,分式可類比分?jǐn)?shù)引入,等等。
3.猜想導(dǎo)入。
“數(shù)學(xué)的發(fā)展并非是無可懷疑的真理在數(shù)學(xué)上的單純積累,而是一個(gè)充滿了猜想與反駁的過程”。因此,在概念引入時(shí),教師應(yīng)讓學(xué)生依據(jù)已有的材料和知識作出符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測性想像,讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)新概念的最初階段,以培養(yǎng)學(xué)生敢于猜想的習(xí)慣,形成數(shù)學(xué)直覺,發(fā)展數(shù)學(xué)思維。
4.從“需要”入手。
有的概念可以從解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要來引入,如“負(fù)數(shù)”概念的教學(xué),教師可以從溫度計(jì)上的零下溫度入手,引導(dǎo)學(xué)生感知現(xiàn)實(shí)生活中存在比零更小的數(shù),但用以前學(xué)過的數(shù)無法表示出來,產(chǎn)生了思維沖突,從而有必要引入“負(fù)數(shù)”這一比零更小的數(shù)來表示這一部分?jǐn)?shù),導(dǎo)入自然,恰到好處。
5.直觀操作導(dǎo)入。
實(shí)踐出真知。手是腦的老師,學(xué)生通過動手操作、實(shí)踐,往往可以理解一些難以理解的概念。因此在教學(xué)中,教師可密切聯(lián)系數(shù)學(xué)概念在現(xiàn)實(shí)世界中的實(shí)際模型,通過對事物、模型的觀察、操作、比較、分析,進(jìn)而自然地引入概念。
二、自主合理地形成概念
從學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的心理過程來看,概念的形成大致有概念同化和概念形成兩類。其中概念同化是指學(xué)生以原有知識為基礎(chǔ),教師以定義的方式直接向?qū)W生揭示概念的方式;概念形成是指從大量的具體例子出發(fā),從學(xué)生肯定經(jīng)驗(yàn)的例證中,以歸納的方式概括出事物的本質(zhì)屬性。
但是,初中生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)還不夠充分,知識經(jīng)驗(yàn)還很貧乏。顯然,概念同化的方式對其是不適的。所以,初中生掌握概念的典型方式還是概念形成。因此,在具體的教學(xué)中,教師應(yīng)重視概念的形成過程。此環(huán)節(jié)教師絕不能包辦代替,應(yīng)讓學(xué)生積極、主動地參與概念的形成過程。
三、準(zhǔn)確、無誤地理解概念
1.語言表述要準(zhǔn)確。
概念形成之后,教師應(yīng)及時(shí)讓學(xué)生用語言表述出來,以加深對概念的印象。語言作為思維的物質(zhì)外殼,教師可從學(xué)生的表述中得到反饋信息,了解、評價(jià)學(xué)生的思維結(jié)果。如概括圓的定義時(shí),有的學(xué)生會漏掉“在同一平面內(nèi)”這個(gè)條件;講分式的基本性質(zhì)時(shí),有的學(xué)生會了“零除外”這一條件等。教師讓學(xué)生自己把這些概念表述出來,及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題,并加以糾正,給學(xué)生一個(gè)準(zhǔn)確的表象,這樣既能培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力,又能發(fā)展他們的思維能力。
2.揭示概念的外延與內(nèi)涵。
數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是指概念所反映的數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性,反映的是“質(zhì)”的方面,如“由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接所組成的圖形”、“兩邊之和大于第三邊”、“內(nèi)角和為180?”等都是“三角形”這一概念的內(nèi)涵。數(shù)學(xué)概念的外延是指數(shù)學(xué)概念所反映的對象的數(shù)量或范圍,反映的是“量”的方面。如銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形是“三角形”這個(gè)概念的外延。充分揭示概念的內(nèi)涵和外延有助于學(xué)生加深對概念的理解。
3.加深對表示數(shù)學(xué)概念的符號理解。
數(shù)學(xué)概念本身就較為抽象,加上符號表示,從而更加抽象化,因此教師必須使學(xué)生真正理解符號的含義。如有學(xué)生會將sin(-θ)中的記號sin與(-θ)認(rèn)為是相乘而錯(cuò)誤地理解為sin(-θ)=-sinθ中左邊的符號是提出來的,所以教師要一開始就幫助學(xué)生正確地理解這些符號的意義,盡量克服學(xué)生發(fā)生類似的錯(cuò)誤。
四、在靈活運(yùn)用中鞏固概念
鞏固是概念教學(xué)的重要環(huán)節(jié)。心理學(xué)原理告訴我們:概念一旦獲得,如不及時(shí)鞏固,便會被遺忘。除了正確復(fù)述之外,教師還要引導(dǎo)學(xué)生在靈活運(yùn)用中發(fā)展鞏固相應(yīng)的概念。
1.嘗試錯(cuò)誤,鞏固概念。
每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都有這樣或那樣的限制條件,如果忽略了這些條件就可能導(dǎo)致解題的失誤。因此,學(xué)生鞏固概念時(shí)可以允許適當(dāng)“示錯(cuò)”,以加深印象,從而真正認(rèn)識概念的本質(zhì)。
2.利用變式,鞏固概念。
所謂變式,就是教師使提供給學(xué)生的各種感性材料不斷變換其表現(xiàn)形式,使非本質(zhì)屬性時(shí)有時(shí)無,而本質(zhì)屬性保持恒在。在幾何教學(xué)中教師常常采用“標(biāo)準(zhǔn)圖形”,學(xué)生就有可能把非本質(zhì)的屬性如圖形的位置、大小等當(dāng)作本質(zhì)屬性,而造成錯(cuò)誤。恰當(dāng)運(yùn)用變式,能使學(xué)生的思維不受消極定勢的束縛,實(shí)現(xiàn)思維方向的靈活轉(zhuǎn)換。
五、在概念系統(tǒng)中深化概念
數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性很強(qiáng)的科學(xué)。布魯納說:“獲得的知識,如果沒有圓滿的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)在一起,那是一種多半會被遺忘的知識。一連串不連貫的論據(jù)在記憶中僅有短促得可憐的壽命。”因此,在每一教學(xué)單元結(jié)束后,教師要及時(shí)進(jìn)行概念總結(jié),在總結(jié)時(shí)要特別重視同類概念的區(qū)別和聯(lián)系,從不同角度出發(fā),制作較合理的概念系統(tǒng)歸類表。這樣不但可使學(xué)生的知識、概念網(wǎng)絡(luò)化,而且可培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力。
總之,概念教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié),教師在平時(shí)的教學(xué)中要加以足夠的重視,并遵循一定的教與學(xué)的規(guī)律,不斷探索、不斷創(chuàng)新,這樣一定能收到意想不到的教學(xué)效果。
參考文獻(xiàn):
[1]全日制九年義務(wù)教育中學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)(試驗(yàn)稿).
1.要直觀形象的引入概念
一般情況下來說，學(xué)生在學(xué)習(xí)一個(gè)概念的時(shí)候是先感受學(xué)習(xí)對象，然后經(jīng)過分析、綜合，在頭腦中形成一個(gè)初步的印象，最后才會形成概念。小學(xué)生的思維能力還處于比較簡單的階段，他們對于具體事物的感知會明顯高于抽象事物和概念，所以，他們的認(rèn)識過程一般是從簡單到復(fù)雜，從具體到抽象。在引入數(shù)學(xué)概念的時(shí)候，一定要給學(xué)生創(chuàng)建一個(gè)比較具體的形象，讓學(xué)生直觀感受到所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容和概念，更容易進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。例如，在教學(xué)“長方形和正方形”的時(shí)候，由于學(xué)生在之前已經(jīng)接觸過有關(guān)直線、線段和平行相交之類的概念了，在學(xué)生的腦海里已經(jīng)形成這樣的基礎(chǔ)和印象，在學(xué)習(xí)這節(jié)課的時(shí)候，老師可以事先準(zhǔn)備一些長方形和正方形的模型和工具給學(xué)生展示，啟發(fā)學(xué)生去思考和想象，經(jīng)過不斷地分析和觀察，可以得出一些有關(guān)這些圖形的特點(diǎn)和共性。
2.利用習(xí)題延伸概念內(nèi)涵
每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都可以得到更多的延伸含義，在這個(gè)概念適合的范圍內(nèi)都可以用它來進(jìn)行定義和論證，通過概念來進(jìn)行運(yùn)算，得出結(jié)果。在概念教學(xué)中，老師在學(xué)生對概念進(jìn)行理解的基礎(chǔ)上要設(shè)計(jì)多種習(xí)題來進(jìn)行訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會觀察、分析以及綜合等方式，掌握題目的規(guī)律和思路，加深對概念的理解和解釋，把概念理解得更透徹，更明了。通過多角度、多方面以及對相似的概念進(jìn)行對比和深化，掌握概念的本質(zhì)意義，幫助學(xué)生利用好概念的延伸和內(nèi)涵。例如，在教學(xué)“統(tǒng)計(jì)”的時(shí)候，由于這節(jié)課的內(nèi)容是比較復(fù)雜的，學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候一定要注意區(qū)分統(tǒng)計(jì)的各個(gè)定義和統(tǒng)計(jì)方法，所以在學(xué)生基本上了解所學(xué)內(nèi)容之后，老師要注意多設(shè)計(jì)一些數(shù)學(xué)習(xí)題來鍛煉學(xué)生，讓學(xué)生回顧和運(yùn)用所學(xué)的知識，經(jīng)過練習(xí)之后，把不會的和運(yùn)用錯(cuò)誤的知識顯露出來，經(jīng)過老師指導(dǎo)和點(diǎn)撥之后，徹底掌握和熟悉所學(xué)到的內(nèi)容。這樣一來，學(xué)生不僅能夠把已經(jīng)學(xué)到的知識吸收和鞏固，還能在做題的過程中發(fā)現(xiàn)新的問題和解決問題的方法，一舉多得。
3.利用知識遷移構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)
所謂知識網(wǎng)絡(luò)包括兩方面的內(nèi)容，第一是要加深對一些基本數(shù)學(xué)概念的教學(xué)和講解，也就是那些在知識體系中運(yùn)用最多、最關(guān)鍵同時(shí)也是最普遍適用的概念，例如，加減法的概念、乘除法的概念和差概念等，那些越是基本越是簡單的概念，它的適用范圍越廣，意義越深刻。只有掌握好這些基本概念，才能使知識產(chǎn)生遷移，學(xué)生學(xué)習(xí)起來才能更加容易。第二，小學(xué)數(shù)學(xué)中的許多概念之間是存在聯(lián)系的，老師在教學(xué)中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行對比，弄清楚他們之間的內(nèi)在聯(lián)系，只有掌握了概念之間的聯(lián)系才能讓知識網(wǎng)絡(luò)清晰化，才能形成完整的知識體系，實(shí)現(xiàn)知識的統(tǒng)一。例如，在學(xué)習(xí)平面圖形的時(shí)候，我們可以將正方形、長方形、平行四邊形、梯形聯(lián)系起來，它們都是四邊形，有共同的特點(diǎn)，但是它們又有區(qū)別，有各自的特點(diǎn)和屬性，在學(xué)習(xí)的時(shí)候，老師要指導(dǎo)學(xué)生將這些知識點(diǎn)聯(lián)系起來，對四種不同的圖形進(jìn)行分析和比較，形成一個(gè)比較系統(tǒng)的知識體系，加深學(xué)生對知識的理解和記憶，讓學(xué)生在以后復(fù)習(xí)的時(shí)候也更省力。
4.加強(qiáng)訓(xùn)練，學(xué)會運(yùn)用概念
新課標(biāo)要求老師教會學(xué)生使用所學(xué)的知識解決實(shí)際生活中的一些問題，提高實(shí)踐能力。在教學(xué)過程中往往出現(xiàn)這樣的問題，大部分學(xué)生可以很熟練地背出概念的內(nèi)容，但是在實(shí)際的解題過程中卻無從下手，不會運(yùn)用所學(xué)的概念。因此，在教學(xué)中除了要讓學(xué)生學(xué)會概念外，更重要的是教會他們運(yùn)用概念，鍛煉學(xué)生的實(shí)踐能力。數(shù)學(xué)源于生活，最后也要運(yùn)用到生活中去，老師在講課的時(shí)候要多給學(xué)生創(chuàng)造實(shí)際練習(xí)的機(jī)會，讓學(xué)生運(yùn)用學(xué)到的知識去解決生活中的實(shí)際問題，讓學(xué)生通過解決實(shí)際問題體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的價(jià)值和作用，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和積極性。例如，在教學(xué)“找規(guī)律”這一節(jié)時(shí)，這節(jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生在生活中學(xué)會觀察，通過觀察找出問題中的規(guī)律，然后解決數(shù)學(xué)問題和生活中的一些規(guī)律問題，老師在教學(xué)過程中可以多設(shè)置一些規(guī)律問題，或是在實(shí)際生活中找一些有關(guān)規(guī)律的實(shí)際例子。只有這樣，才能把所學(xué)到的知識不斷地運(yùn)用和拓展，在錯(cuò)誤中不斷地糾正和思考，逐漸完善自己的知識體系，正確把握所學(xué)知識的內(nèi)涵和意義，能夠用所學(xué)的知識去解決實(shí)際問題，感受到數(shù)學(xué)對于生活的意義和價(jià)值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心，從而形成勇于發(fā)現(xiàn)和思考的精神。
一、創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，引入概念
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上。”《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的這一理念，著眼于學(xué)生終身學(xué)習(xí)的愿望和能力，要求概念教學(xué)要從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和心理發(fā)展規(guī)律選材，題材要廣泛，呈現(xiàn)形式要豐富多彩，充滿學(xué)生樂于接觸的、有價(jià)值的數(shù)學(xué)題材。在概念教學(xué)時(shí)創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)而有吸引力的學(xué)習(xí)情境尤為重要，它可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動機(jī)，讓學(xué)生在自然的情境中產(chǎn)生積極主動地學(xué)習(xí)新知識的愿望。
概念的引入方式要恰當(dāng)，要根據(jù)不同的概念創(chuàng)設(shè)不同的情境。創(chuàng)設(shè)情境引入概念的方式很多：創(chuàng)設(shè)故事情境引入，使學(xué)生興趣盎然地進(jìn)行新課學(xué)習(xí)。動手操作情境引入，一些有數(shù)學(xué)背景的玩具和游戲不僅能愉悅、陶冶學(xué)生的身心，還能激發(fā)學(xué)生濃厚的探究興趣。
教師在設(shè)計(jì)具體情境時(shí)切忌單刀直入，全盤托出，而應(yīng)該根據(jù)小學(xué)生的年齡特征，緊密地聯(lián)系學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，從舊到新，由淺入深，循序漸進(jìn)地引入。
二、加強(qiáng)實(shí)踐探究，建構(gòu)概念
當(dāng)學(xué)生感知概念后，為了讓學(xué)生準(zhǔn)確把握概念，必須通過比較、分析、綜合、概括等思維活動和學(xué)習(xí)手段，剔除知識的非本質(zhì)屬性，抽取其基本屬性，認(rèn)真分析概念的內(nèi)涵和外延，并找準(zhǔn)概念中的重點(diǎn)難點(diǎn)給學(xué)生講解，幫助學(xué)生構(gòu)建自己正確、清晰的知識框架。
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純依賴模仿記憶。動手實(shí)踐、自主探索和合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。
現(xiàn)代心理學(xué)認(rèn)為：知識并不能簡單地由教師或其他人傳授給學(xué)生，而只能由每個(gè)學(xué)生依托自己已有的知識和經(jīng)驗(yàn)主動地加以建構(gòu)。
數(shù)學(xué)概念的抽象性決定了學(xué)生要想獲得正確的概念必須有一個(gè)主動、復(fù)雜的思維過程。教師并不能把現(xiàn)成的概念原封不動地、簡單地“灌”或“塞”給學(xué)生，不能只重視結(jié)論的記憶而忽視對概念的理解。在教學(xué)中，我們要關(guān)注學(xué)生的探究與發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生動手操作，主動參與結(jié)論獲得的過程。如我們可以借助操作活動幫助學(xué)生建立“平均分”的概念。讓學(xué)生把八根小棒分成兩份，交流不同的分法，然后引導(dǎo)學(xué)生將幾種分法進(jìn)行分類。讓學(xué)生通過觀察、比較后，發(fā)現(xiàn)“4根與4根”的分法的本質(zhì)特征是“每份的根數(shù)一樣多”，并指出這種分法叫平均分。
三、借助生活經(jīng)驗(yàn)，理解概念
在概念教學(xué)中，教師應(yīng)盡可能地將數(shù)學(xué)知識與學(xué)生在日常生活的、熟悉的、具體的材料相聯(lián)系，這樣有利于抽象的數(shù)學(xué)概念具體化、形象化，便于學(xué)生理解，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的思維和探索新知的欲望。如：開始學(xué)習(xí)“角”，教師憑借常見的直觀實(shí)物（五角星、三角板等），幫助學(xué)生理解“角”的意義。
四、聯(lián)系實(shí)際運(yùn)用，拓展概念
數(shù)學(xué)概念既然來源于生活，就必須回歸生活。教師要設(shè)計(jì)富有實(shí)用性、生活性的習(xí)題，讓學(xué)生用所掌握的知識思考“是怎樣做的，為什么要這樣做，還可以怎樣做”等問題，使學(xué)生的聰明才智得以充分發(fā)揮。學(xué)生對新學(xué)概念的掌握不是一次能完成的，需要由具體到抽象、再由抽象到具體地多次重復(fù)。教學(xué)中除了要重視數(shù)學(xué)概念的形成和獲得外，還要加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用，進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐意識。組織情境練習(xí)既能使學(xué)生靈活地運(yùn)用概念、鞏固知識，又能使學(xué)生愉快地學(xué)習(xí)，在實(shí)踐中主動體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值和魅力。
一、 揭示概念的形成過程
數(shù)學(xué)中每個(gè)重要概念的產(chǎn)生歷經(jīng)了前人長期觀察、比較、分析、抽象、概括、創(chuàng)造了漫長過程，其形成過程蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的思想方法、數(shù)學(xué)創(chuàng)造方法，展現(xiàn)數(shù)學(xué)概念形成過程的教學(xué)可使學(xué)生領(lǐng)悟形成概念的方法，鍛煉思維品質(zhì)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)內(nèi)在活力。使其在學(xué)習(xí)過程中處于亢奮狀態(tài)。
讓學(xué)生從大量具體例子出發(fā)，從他們實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的肯定例證中，以歸納方式概括出一類事物的共同本質(zhì)屬性，從而獲得概念叫概念的形成。概念可分為以下幾個(gè)心理活動階段，以函數(shù)概念為例進(jìn)行闡述。
⑴觀察實(shí)例，學(xué)生觀察下列事例中，指出變量與變量的關(guān)系。
①以40米/小時(shí)速度行駛的汽車，行駛的路程s與時(shí)間t。
②用圖表給出的某水庫的存水量Q與水深h。
③某一天氣溫F與時(shí)刻t。
④某一次考試的班級學(xué)生成績m與學(xué)號n。
⑤一個(gè)數(shù)y是另一個(gè)x的平方。
⑵分析共同屬性。分析各實(shí)例的屬性，并綜合出共同屬性。如上例中各實(shí)例的共同屬性有：①抽象地看成兩變量間關(guān)系②一個(gè)變量隨另一個(gè)變量變化而變化③一個(gè)變量每取定一個(gè)值，另一個(gè)變量有唯一確定的值與它對應(yīng)。
⑶抽象出本質(zhì)屬性，經(jīng)過猜想，假設(shè)等過程，最后得到一個(gè)變量每確定一個(gè)值，另一個(gè)變量也唯一確定一個(gè)值與之對應(yīng)，這是本質(zhì)屬性。
⑷比較正反實(shí)例，確認(rèn)本質(zhì)屬性，如例④中反過來n未必是m的函數(shù)；例⑤中開平方x=+y 也不是函數(shù)，強(qiáng)化本質(zhì)屬性，排除非本質(zhì)屬性。
⑸概括出概念含義，把抽象出的本質(zhì)屬性推廣到同類事物，給出名稱。這時(shí)還需要進(jìn)一步區(qū)分各種本質(zhì)屬性的從屬關(guān)系，找出關(guān)鍵的本質(zhì)屬性下定義。
二、 揭示概念的同化過程
利用學(xué)生認(rèn)識結(jié)構(gòu)中原有的概念和知識經(jīng)驗(yàn)，以定義方式直接向?qū)W生提示概念的本質(zhì)屬性，從而獲得概念的方式叫概念的同化。以“一元二次方程”概念教學(xué)為例，提示其同化過程。
⑴觀察概念的定義，名稱和符號，揭示概念的本質(zhì)屬性，例如學(xué)習(xí)“一元二次方程”
這個(gè)概念，首先觀察它的定義――含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程。它的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其本質(zhì)屬性有：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)最高次數(shù)為二次，是整式方程。
⑵對概念進(jìn)行分類，討論各種特殊情況，進(jìn)一步突出概念的本質(zhì)屬性，
⑶把新概念系統(tǒng)化，把新概念同化到原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。如上例，學(xué)生把一元二次方程同化到原有關(guān)于方程的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，區(qū)分一元二次方程與方程，一元一次方程，分式方程，整式方程等概念，并形成一個(gè)關(guān)于方程概念的系統(tǒng)。
概念同化的學(xué)習(xí)過程，以學(xué)生間接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，要求學(xué)生具備較豐富的知識經(jīng)驗(yàn)，并具有積極思維能力和較高的心理活動水平，但比較省時(shí)。
三、 重視概念的建構(gòu)過程
建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)的過程是一個(gè)主動建構(gòu)的過程，建立起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是其經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)識的投入和重建，是一種具有探索性的再創(chuàng)活動。要求教師是數(shù)學(xué)建構(gòu)活動的深謀遠(yuǎn)慮的設(shè)計(jì)者、組織者、參與者、指導(dǎo)者和評估者。現(xiàn)以“直線的傾斜角與斜率”一節(jié)教學(xué)為例。
⑴闡述實(shí)際意義，建立概念。黑板上畫兩個(gè)邊長差別很大的正方形，請學(xué)生用一三角板畫出它們的對角線（其中一個(gè)正方形的對角線長度小于三角板的邊長，另一個(gè)正方形的對角線長度大于三角板的邊長），小正方形的對角線容易畫出，但大正方形的對角線卻使 學(xué)生陷入困境，讓學(xué)生自己去選擇方法和探索認(rèn)證，思考畫直線的理論依據(jù)除兩點(diǎn)確定一條直線外，還有由點(diǎn)與方向確定一定直線，這樣便自然產(chǎn)生了“直線的傾斜角”的概念，進(jìn)而反思，討論用角和數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的不便后，建立起斜率的概念
⑵揭示本質(zhì)，理解概念。引進(jìn)斜率概念后，針對關(guān)鍵詞進(jìn)行分析，學(xué)生思考之余提出：“討論繞點(diǎn)（2，3）按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周的直線斜率變化情況如何？通過畫圖，利用運(yùn)動的觀點(diǎn)解決問題，從而進(jìn)一步認(rèn)識了傾斜角和斜率的概念的聯(lián)系與區(qū)別及它們?nèi)≈捣秶妥兓厔荩ㄟ^建構(gòu)活動，同化或順應(yīng)于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
⑶深入分析比較，深化概念
斜率和傾斜角納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)后，提出問題：過點(diǎn)P（1，1），Q（2，3）的直線的傾斜角與斜率各是多少？鼓勵(lì)學(xué)生探索、創(chuàng)造建立兩個(gè)新的“解析成果”與最基本“解析成果”點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，討論、概括學(xué)生的思路：
直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)――――――直線斜率
正切值的坐標(biāo)表示――――――直線傾斜角
如此則形成了斜率坐標(biāo)公式的推導(dǎo)思路，通過重建充實(shí)了原認(rèn)識結(jié)構(gòu)。
⑷加強(qiáng)應(yīng)用，鞏固概念。
選擇典型的循序漸進(jìn)的題組進(jìn)行鞏固，建立起相應(yīng)的應(yīng)用模式。如：
①直線過點(diǎn)（1，4），（3+1，1）其傾斜角和斜率各是多少？
②已知直線過點(diǎn)P（3，4），Q（-2-m，-m+5），當(dāng)m為何值時(shí)，直線與x軸平行？當(dāng)m為何值時(shí)，直線與y軸平行？當(dāng)m為何值時(shí)，其傾斜角為3π/4？
③已知點(diǎn)M（-4，7），N（2，15）若直線1傾斜角是直線MN的傾斜角的一半，則1的斜率為多少？
這樣學(xué)生在問題激發(fā)下主動建構(gòu)，從形成概念、掌握本質(zhì)，直至融概念于原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，建立起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，相對獨(dú)立地完成數(shù)學(xué)建構(gòu)活動，達(dá)到概念理解深刻、全面。
四、組織概念的系統(tǒng)化、整體化的過程。
數(shù)學(xué)中許多概念的理解和掌握不是一次可以完成的，教師應(yīng)有計(jì)劃地使學(xué)生不斷豐富和加深理解。可以通過單元復(fù)習(xí)，階段復(fù)習(xí)，甚至是垮學(xué)年地總結(jié)的方式使所學(xué)的有關(guān)概念系統(tǒng)化和整體化，組織學(xué)生概括、歸納，不斷豐富概念的內(nèi)涵和外延，充實(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
例關(guān)于“角”的概念的深化與系統(tǒng)化
⑴平面角：①一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形（靜態(tài)定義）②以一條射線的端點(diǎn)為頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角，順時(shí)針為負(fù)角，不作旋轉(zhuǎn)為零角。
⑵異面直線所成的角：在空間任意取一點(diǎn)，分別引兩條異面直線的平行線所成的銳角或直角，叫做兩條異面直線的所成的角。
⑶直線與平面所成的角。若直線在平面內(nèi)或與平面平行，則所成角為00；若直線與平面垂直，則所成的角為900；平面內(nèi)一條斜線和它在平面影所成的銳角，叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念的教學(xué)；特征；想法
中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）18-205-01
概念的課堂教學(xué)大致經(jīng)歷以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：概念的引入、概念的生成、概念的剖析及辨析、相關(guān)概念的聯(lián)系與區(qū)別、概念應(yīng)用舉例、概念的鞏固練習(xí)。
一、概念的引入
概念的引入是概念課教學(xué)的起始步驟，是形成概念的基礎(chǔ)。在概念課的引入上，要樹立起讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)的觀念，如果能讓學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，對學(xué)習(xí)新概念的必要性產(chǎn)生需求，并主動發(fā)現(xiàn)新概念是最佳途徑。對于情境的設(shè)計(jì)，要結(jié)合概念的特點(diǎn)恰當(dāng)?shù)剡x取，特點(diǎn)不同，引入形式也就會存在差異：我們提倡借助生動、豐富的實(shí)際問題引入概念，能夠與學(xué)生的生活密切結(jié)合，這樣往往比較具體、形象，學(xué)生容易理解，也比較容易從中提煉出概念的本質(zhì)屬性，下面介紹概念引入的三種想法：
1、聯(lián)系概念的現(xiàn)實(shí)原理引入新概念
2、從具體到抽象引入新概念
例：對于“用字母表示數(shù)”的教學(xué)，教師展示熟悉的生活實(shí)例，確立了一個(gè)學(xué)生熟悉的認(rèn)知對象，由學(xué)生熟悉的鋪地用的各種形狀、各種顏色的地磚鋪地時(shí)的圖案入手。讓學(xué)生初步體會到表示任意性、一般性的問題時(shí)需要一個(gè)新的表示數(shù)的方法，體會到這類問題不用字母表示不行了，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個(gè)“字母表示數(shù)”的必要性的學(xué)習(xí)情節(jié)，使學(xué)生認(rèn)識到“字母表示數(shù)”的重要性，從而激發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步探索有關(guān)內(nèi)容的欲望，學(xué)生自己認(rèn)為重要的、有用的東西，他們才能百分之百的經(jīng)歷、主動、積極地投入到所要做的事情中來，這樣的學(xué)習(xí)才是最有效果的。
3、用類比的方法引入概念
類比不僅是一種重要形式，而且是引入新概念的重要方法。
二、概念的剖辨
概念生成之后，應(yīng)用概念解決問題之前，往往要進(jìn)行概念剖析，即用實(shí)例（包括正例與反例）引導(dǎo)學(xué)生分析關(guān)鍵詞的含義，包括對概念特性的考察，可以達(dá)到明確概念、再次認(rèn)識概念本質(zhì)的目的，還可以從中體會概念中所呈現(xiàn)的轉(zhuǎn)化問題的方法，這是最基本、最重要的方法。在概念剖析練習(xí)中，進(jìn)一步體會概念的內(nèi)涵與外延，認(rèn)識函數(shù)的本質(zhì)。此外，在剖析概念時(shí)通常要對概念的多種表示語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)語言主要是文字?jǐn)⑹觥⒎柋硎尽D形表示，要會三者的翻譯，同時(shí)更重要的是強(qiáng)調(diào)符號感。
三、相關(guān)概念異同
數(shù)學(xué)概念不是孤立存在的，概念間都有著千絲萬縷的聯(lián)系，概念教學(xué)還應(yīng)該承擔(dān)著建立與相關(guān)概念的聯(lián)系的任務(wù)，教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生試著對概念進(jìn)行適度的聯(lián)系與發(fā)散，努力找出概念間一些體現(xiàn)共性的東西，以使學(xué)生形成功能良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
四、概念的例習(xí)
概念的形成是一個(gè)由個(gè)別到一般的過程，而概念的運(yùn)用是一個(gè)由一般到個(gè)別的過程，它們是學(xué)生掌握概念的兩個(gè)階段。通過運(yùn)用概念解決實(shí)際問題，可以加深、豐富和鞏固學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的掌握，并且在概念的運(yùn)用過程中培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要注意概念的形成過程，也要注意概念的應(yīng)用。根據(jù)不同概念的特點(diǎn)，采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段，激勵(lì)學(xué)生實(shí)現(xiàn)對概念的理解，才能使學(xué)生學(xué)得好、學(xué)得牢。這一階段，主要是選用有代表性的簡單例子，使學(xué)生形成用概念做判斷的具體步驟。
當(dāng)學(xué)生在解決問題的過程中遇到困難時(shí)，讓學(xué)生養(yǎng)成“不斷回到概念中去，從基本概念出發(fā)思考問題、解決問題”的習(xí)慣，另外，加強(qiáng)概念聯(lián)系性的教學(xué)，從概念的練習(xí)中尋找解決問題的新思路。
五、概念的背景
數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)概念的背景、歷史與文化是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的組成部分，是向?qū)W生滲透德育教育的好載體。許多數(shù)學(xué)概念都是有其歷史背景，都蘊(yùn)含著悠久的歷史與文化，教學(xué)中我們要讓學(xué)生充分受到優(yōu)秀文化的熏陶，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)和素質(zhì)。
六、數(shù)學(xué)概念的注意
概念同化教學(xué)模式是建立在一般學(xué)習(xí)理論基礎(chǔ)之上，偏重于概念的邏輯結(jié)構(gòu)。這種教學(xué)模式比較簡明，使學(xué)生能夠比較直接地學(xué)習(xí)概念，因此，被稱為是“學(xué)生獲得概念的最基本方式”。概念同化雖然是一種省時(shí)、省力且見效快的概念教學(xué)模式，但在這種模式下，它忽視了數(shù)學(xué)概念本身所蘊(yùn)含的現(xiàn)實(shí)背景，學(xué)生的學(xué)習(xí)缺乏“活動”，對概念的形成過程沒有充分的體驗(yàn)。
二、APOS理論的構(gòu)建
APOS別是由英文Action（操作）、Process（過程）、Object（對象）和Scheme（圖式）的第一個(gè)字母組合而成。這種理論認(rèn)為，在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，如果引導(dǎo)個(gè)體經(jīng)過思維的操作、過程和對象等幾個(gè)階段后，個(gè)體一般就能在建構(gòu)、反思的基礎(chǔ)上把它們組成圖式從而理清問題情境，順利解決問題。這四個(gè)階段的內(nèi)容如下：
1.活動階段（Action）：親身體驗(yàn)、感受概念的直觀背景和概念間的關(guān)系。通過操作活動，理解概念的意義。
2.過程階段（Process）：對“操作”進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過程，在頭腦中進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì)。
3.對象階段（Object）：認(rèn)識概念本質(zhì)，對其賦予形式化的定義及符號，使其達(dá)到精致化，成為一個(gè)具體的對象。
4.圖式階段（Scheme）：反映概念的定義及符號，建立與其他概念、規(guī)則、圖形的聯(lián)系，形成綜合的心理圖式。
APOS理論將數(shù)學(xué)概念的建立分為活動――過程――對象――概念四個(gè)階段，如果數(shù)學(xué)教學(xué)停留在活動層面，那不是真正的理想的數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)還應(yīng)上升到抽象層面，使概念的形成的“活動、過程”向“對象”階段轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到“圖式”階段，才能掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)與內(nèi)在。
三、基于APOS理論的教學(xué)設(shè)計(jì)
筆者認(rèn)為，APOS理論的活動階段相當(dāng)于觀察、呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的具體實(shí)體階段，過程階段則是對具體實(shí)體進(jìn)行思維概括得出數(shù)學(xué)概念的階段。下面是僅以浙教版八年級（上）《平面直角坐標(biāo)系》的教學(xué)設(shè)計(jì)為例來說明。
1.活動階段――創(chuàng)設(shè)問題情境，在活動中思考問題
筆者發(fā)給同學(xué)們一張地圖，請大家仔細(xì)觀察地圖并回答問題：
（1）向你的同桌描述建筑物A（動物園）、B（青少年宮）、C（電影院）的位置。（2）假設(shè)你在另一處D（學(xué)校），你將怎樣找到A、B、C？
結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造學(xué)生展開思考的環(huán)境，給予學(xué)生充分表達(dá)自己看法的機(jī)會，讓他們在自主思考、自由交流中，在與同學(xué)觀點(diǎn)交鋒中，撞擊出思維的火花。
2.過程階段――體驗(yàn)并抽象比例概念的過程
老師廣泛聽取學(xué)生意見后，因勢利導(dǎo)，總結(jié)、概括大家的意見，引導(dǎo)學(xué)生得出確定平面某一位置的方法，以及這些方法的共同之處。接下來，老師與學(xué)生共同回顧之前學(xué)過的有關(guān)數(shù)軸的內(nèi)容――數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都對應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)值，然后找到那個(gè)點(diǎn)，以此誘發(fā)學(xué)生思考平面上一個(gè)點(diǎn)的確定。結(jié)合先前活動的經(jīng)驗(yàn)，抽象得出平面上的確定位置的過程，也是尋找、設(shè)置兩條數(shù)軸（兩個(gè)方向）的過程。而兩條互相垂直的數(shù)軸也是其中的一種過程，也就構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，而這一過程也就是形成平面直角坐標(biāo)系的過程。將平面直角坐標(biāo)系這一概念的形成過程歸結(jié)于兩條數(shù)軸的出現(xiàn)過程，這應(yīng)該是一種全新的視角。
3.對象階段――對平面直角坐標(biāo)系形式化、工具性的表達(dá)
將平面直角坐標(biāo)系作為一個(gè)新的對象來認(rèn)識，對其進(jìn)行形式化、工具性地表達(dá)，這是對象階段應(yīng)該達(dá)到的目標(biāo)。課題練習(xí)：（1）請你在先前地圖中，建立平面直角坐標(biāo)系。（2）寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)。（3）寫出與B點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)數(shù)軸相對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)。1小題用于鞏固平面直角坐標(biāo)系的概念；2、3題皆在聯(lián)系通過點(diǎn)寫坐標(biāo)。而這一切都將學(xué)生的動手嘗試放在老師講解之前，也是考慮到知識內(nèi)容本身的難易程序和學(xué)生已有的知識背景。
4.圖式階段――建立綜合心理圖式
通過以上三個(gè)階段的教學(xué)，學(xué)生在頭腦中應(yīng)該建立如下的心理圖式：現(xiàn)實(shí)生活中直角坐標(biāo)系思想的應(yīng)用、直角坐標(biāo)系的作用、在直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的過程及其與數(shù)軸的區(qū)別和聯(lián)系等等。老師帶領(lǐng)學(xué)生訂正課堂練習(xí)，并在其中嘗試區(qū)分平面直角坐標(biāo)系與數(shù)軸的不同，認(rèn)識它們的優(yōu)越性。
老師引導(dǎo)學(xué)生思考平面直角坐標(biāo)系與數(shù)軸的關(guān)系，對學(xué)生拓寬思考問題的方式大有好處，明確此事物和它事物的區(qū)別與聯(lián)系，也是認(rèn)識事物的一種方式。
四、數(shù)學(xué)概念教學(xué)中幾點(diǎn)建議
APOS理論對于數(shù)學(xué)的概念的學(xué)習(xí)能產(chǎn)生多大的指導(dǎo)作用，最終還要依賴于老師的課堂實(shí)踐。為此，提出以下幾點(diǎn)教學(xué)建議：
1.努力創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生概念發(fā)展的現(xiàn)實(shí)情境。
2.對象、圖式階段是數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中建立的長遠(yuǎn)之計(jì)，二者可以循環(huán)上升。
